Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁（底面三角形ABC是正三角形的直棱柱）中，点D，E分别是BC，B₁C₁的中点，BC₁∩B₁D=F，．求证：
（1）平面A₁EC∥平面AB₁D；
（2）平面A₁BC₁⊥平面AB₁D．

Answer

（1）由点D，E分别是BC，B1C1的中点，知A1E∥AD，EC∥B1D，由此能证明平面A1EC∥平面AB1D．
（2）由△ABC是正三角形，点D是BC的中点，知AD⊥BC，由平面ABC⊥平面BCC1B1，知AD⊥BC1，由此能够证明平面A1BC1⊥平面AB1D．
证明：（1）∵点D，E分别是BC，B1C1的中点，
∴A1E∥AD，EC∥B1D，
∴A1E∥平面AB1D，
又∵A1E∩EC=E，∴平面A1EC∥平面AB1D．
（2）∵△ABC是正三角形，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
又∵平面ABC⊥平面BCC1B1，
∴AD⊥平面BCC1B1，
∴AD⊥BC1，
又∵点D是BC的中点，，
∴，，
∴，∴△BDB1∽△B1BC1，
故∠BDB1=∠B1BC1，即∠BDF=∠B1BF，
∴，∠BFD=90°，
∴BF⊥B1D，即BC1⊥B1D，从而BC1⊥平面AB1D．
又BC1⊂平面A1BC1，所以平面A1BC1⊥平面AB1D．