Question

已知常数a＞0且a≠1，变数x、y满足 3log_xa+log_ax-log_xy=3
（1）若x=a^t（t≠0），试以a、t表示y．
（2）若t∈{t|t²-4t+3≤0}时，y有最小值8，求a和x的值．

Answer

（1）由题意利用换底公式可得 logay=-3logax+3，再由x=at（t≠0），可得 logax=t，由此可用a、t表示y．
（2）由t2-4t+3≤0可得 1≤t≤3．分0＜a＜1和a＞1两种情况，并根据y有最小值8，求得a的值，由此求得对应的x的值．
【解析】
（1）∵3logxa+logax-logxy=3，由换底公式可得 +logax-=3，
解得 logay=-3logax+3．
若x=at（t≠0），则 logax=t，
∴logay=t2-3t+3，∴y=．
（2）由t2-4t+3≤0可得 1≤t≤3．
当0＜a＜1时，由于y有最小值8，故函数u=t2-3t+3= 必有最大值，故当 t=3时，函数u取得最大值为3，即 a3=8，a=2，这与0＜a＜1矛盾．
当a＞1时，由于y有最小值8，故函数u=t2-3t+3= 必有最小值，故当 t=时，函数u取得最小值为，即=8，a=16，此时x=64．