Question

设O为原点，圆x²+y²=8内有一点P（1，2），AB和CD为过点P的弦．
（1）当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程；
（2）若，求直线AB的斜率；
（3）若AB⊥CD，求四边形ABCD面积的最大值和最小值．

Answer

（1）由题意可得，OP⊥AB，结合直线垂直的条件可求KAB，即可求解
（2）①若AB的斜率不存在，可求出设A，B，进而可求
②若直线AB的斜率存在，设直线AB为y-2=k（x-1），联立直线与圆的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），则根据方程的根与系数关系可求x1+x2，x1x2，代入=x1x2+y1y2，结合已知可求k
（3）设∠OPC=θ，则点O到直线AB的距离d1=|OP|sinθ，|AB|=2=，O到CD的距离d2=|OP|cosθ=，|CD|=2，代入四边形ABCD的面积S=，结合三角函数可求最值
【解析】
（1）若弦AB被P平分，则OP⊥AB
∵KAP=2
∴KAB=-
∴直线AB方程为y-2=-（x-1）即x+2y+5=0
（2）①若AB的斜率不存在，则不妨设A（1，），B（1，-）
∴=-6不合题意，舍去
②若直线AB的斜率存在，设直线AB为y-2=k（x-1）
由可得（1+k2）x2+（4k-2k2）x+k2-4k-4=0
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则x1+x2=，x1x2=
∴=x1x2+y1y2=x1x2+[kx1+（2-k）][kx2+（2-k）]
=（1+k2）x1x2+k（2-k）（x1+x2）+（2-k）2
=k2-4k-4=1
∴7k2+8k+1=0
解可得，或k=-1
故直线AB的斜率为-1或-
（3）设∠OPC=θ，则点O到直线AB的距离d1=|OP|sinθ=
∴|AB|=2=
同理O到CD的距离d2=|OP|cosθ=
∴|CD|=2=
∴四边形ABCD的面积S==
=2
=2
∴Smax=11，