Question

设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题中真命题的个数为（ ）
①若l∥α，m∥l，m⊥β，则α⊥β；
②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
③若m，n为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

①利用平面垂直的判定定理判断正误；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α；③利用平面平行的判定定理进行判断；④若α⊥β，α⊥γ，则γ与β平行或相交．
【解析】
由l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，知：
①∵l∥α，m∥l，m⊥β，
∴l⊥β，且在α内必有直线垂直于β，
故由平面垂直的判定定理知α⊥β，故①正确；
②∵m⊥α，m⊥n，
∴n∥α或n⊂α，故②不正确；
③∵m，n为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，
∴在同一平面α能够作出m和n的平行线m′，n′，
则m′，n′相交且都平行于β，
故由平面平行的判定定理知α∥β，故③正确；
④∵α⊥β，α⊥γ，
∴γ与β平行或相交，故④不正确．
故选B．