Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠CAA₁=60°，AA₁=2AC，BC⊥平面AA₁C₁C．
（1）证明：A₁C⊥AB；
（2）设BC=AC=2，求三棱锥C-A₁BC₁的体积．

Answer

（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）利用三棱锥的体积计算公式和等积变形即可求出．
【解析】
（1）证明：在△ACA1中，
由余弦定理得=3AC2，
∴，
∴，∴，∴A1C⊥AC．
∵BC⊥平面AA1C1C，∴BC⊥A1C．
∵AC∩BC=C，∴A1C⊥平面ABC，∴A1C⊥AB．
（2）作A1E⊥CC1，CF⊥AA1．
则A1E⊥平面BCC1B1，四边形A1ECF为矩形．
在Rt△ACF中，CF=ACsin60°=．
==4，
∴===．