Question

设过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且．
（1）求点P的轨迹M的方程；
（2）过F（2，0）的直线与轨迹M交于A，B两点，求的取值范围．

Answer

（1）由点P（x，y），点Q与点P关于y轴对称题设知Q（-x，y），设A（a，0），B（0，b），由且，知，由此能求出点P的轨迹M的方程．
（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx-2k，联立，得（3k2+1）x2-12k2x+12k2-3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由=（x1-2）（x2-2）+y1y2=（1+k2）（x1-2）（x2-2），利用韦达定理能求出的取值范围．
【解析】
（1）∵过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，
∴Q（-x，y），设A（a，0），B（0，b），
∵O为坐标原点，∴=（x，y-b），=（a-x，-y），=（-x，y），，
∵且，
∴，
解得点P的轨迹M的方程为．
（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx-2k，
联立，得（3k2+1）x2-12k2x+12k2-3=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，
=（x1-2，y1），=（x2-2，y2），
∴=（x1-2）（x2-2）+y1y2
=（1+k2）（x1-2）（x2-2）
=（1+k2）[x1x2-2（x1+x2）+4]
=（1+k2）（-+4）
=
=+，
∴当k2→∞的最小值→；当k=0时，的最大值为1．
∴的取值范围是（，1]．