Question

如图所示，设曲线上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，…，直角顶点在曲线上，设A_n的坐标为（a_n，0），A为原点
（1）求a₁，并求出a_n和a_n-1 n∈N^*之间的关系式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由题设知，由此能求出a1，利用△An-1BnAn为等腰直角三角形，且Bn为直角顶点，求出Bn点的横纵坐标，再根据Bn点为函数y=（x＞0）图象上的点，坐标满足函数y=（x＞0）的解析式，就可得到an和an-1 之间的关系式．
（2）由（1）知数列{}是首项为4，公差为4的等差数列，由此能求出数列{an}的通项公式．
（3）由bn===，能求出数列{bn}的前n项和Sn．
【解析】
（1）∵曲线上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB1A1，△A1B2A2，…，直角顶点在曲线上，设An的坐标为（an，0），A为原点，
∴，
解得a1=2．
过Bn点作BnH⊥x轴，垂足为H，
∵△An-1BnAn为等腰直角三角形，且Bn为直角顶点，
∴|BnH|=|An-1An|=，
∴Bn点的纵坐标为，
∵△An-1BnAn为等腰直角三角形，且Bn为直角顶点，
∴H点为线段An-1An的中点，
∴H点横坐标为，
∵BnH⊥x轴，∴Bn点的横坐标也为，
∵Bn点为函数y=（x＞0）图象上的点，
∴•=1
∴=4．
（2）∵=4，a1=2，
∴数列{}是首项为4，公差为4的等差数列，
∴，
∴．
（3）∵bn=
=
=，
∴Sn=（）+（）+…+（）
=．