Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1+a_n=3•2^n-1（n≥2）．
（1）求a₂，a₃；
（2）求a_n的通项公式；
（3）对于n∈N^*有 ＜=2（-），证明：++…+＜（n≥1）

Answer

（1）利用a1=1，an+1+an=3•2n-1（n≥2），代入计算，可得a2，a3；
（2）先猜想，再利用数学归纳法进行证明；
（3）先证明＞1，可得＜=2（-），再利用放缩法可得结论．
（1）【解析】
∵a1=1，an+1+an=3•2n-1（n≥2），∴a2=2，a3=4，
（2）【解析】
由（1）猜想an=2n-1；
证明如下：当n=1时，成立            
假设当n=k时，成立，即ak=2k-1，
∵an+1+an=3•2n-1，∴ak+1=ak+3•2k-1=2k，
∴n=k+1时，结论成立
综上，an=2n-1；
（3）证明：∵2n+1＞2n+1-1，∴＞1，
∴＜=2（-），
∴++…+＜2（-+…+-）
＜1+2（）+…+2（-）=1+-＜