Question

已知f（x）=，
（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并证明；
（2）若＜ax在[1，+∞） 上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）利用函数的单调性的定义即可证明；
（2）因为＜ax在[1，+∞） 上恒成立⇔，x∈[1，+∞）．再利用（1）的单调性求出即可．
【解析】
（1）函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．
证明如下：
任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=-===．
∵0＜x1＜x2，∴x1+x2＞0，x2-x1＞0，x12x22＞0．
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）＜ax在[1，+∞） 上恒成立⇔，x∈[1，+∞）．
由（1）知，f（x）的单调减区间为（0，+∞），
∴函数f（x）在[1，+∞）上是减函数，
∴函数f（x）在[1，+∞）上的最大值为f（1）=2．
∴a＞2