Question

已知函数
（1）若f（x）满足f（-x）=-f（x），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，判断函数f（x）在[-1，1]上是否有零点，并说明理由；
（3）若函数f（x）在R上有零点，求a的取值范围．

Answer

（1）根据函数奇偶性的定义，由f（-x）=-f（x）采用比较系数法，可解出a=1；
（2）根据指数函数单调性，得f（x）=1-是R上的增函数．再由f（-1）＜0，f（1）＞0且f（0）=0，可得f（x）在[-1，1]上有唯一零点x=0；
（3）函数f（x）在R上有零点，即方程a=在R上有实数根．讨论函数t═的单调性，可得它的值域为（0，2），由此即可得到f（x）在R上有零点时实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵=
，且f（-x）=-f（x），
∴，解之得a=1；
（2）∵a=1，∴=1-
∵t=是R上的减函数，∴f（x）是R上的增函数．
∵f（-1）=-＜0，f（1）=＞0，f（0）=0
∴f（x）在[-1，1]上有唯一零点x=0．
（3）=a-
∵函数f（x）在R上有零点，
∴方程a=在R上有实数根
∵t=上是减函数，2x+1＞1
∴t=∈（0，2）
由此可得，当a∈（0，2）时，方程a=在R上有实数根
综上所述，若函数f（x）在R上有零点，a的取值范围是（0，2）．