Question

已知函数f（x）=2msin²x-2（m＞0）的定义域为[0，]，值域为[-5，4]．
（1）求m，n的值；
（2）求函数g（x）=msinx+ncosx（x∈R）的单调递增区间．

Answer

（1）将f（x）解析式前两项利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，进而确定出f（x）的最大值与最小值，根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值；
（2）将（1）中确定的m和n值代入g（x）中，确定出解析式，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调递增区间为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到g（x）的单调递增区间．
【解析】
（1）f（x）=2m•-msin2x+n=-msin2x-mcos2x+m+n=-2sin（2x+）+m+n，
∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，
∴sin（2x+）∈[-，1]，
∴当m＞0时，f（x）max=-2m•（-）+m+n=4，f（x）min=-m+n=-5，
解得：m=3，n=-2；
（2）由m=3，n=-2，得到g（x）=3sinx-3cosx=3sin（x-）（x∈R），
令2kπ-≤x-≤2kπ+（k∈Z），解得：2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z），
则函数g（x）的单调递增区间为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）．