Question

已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为，焦点坐标分别为F₁（-2，0），F₂（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知A（-3，0），B（3，0），P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，求的值．

Answer

（Ⅰ） 设椭圆C的标准方程为，利用椭圆C的长轴长与短轴长之比为，焦点坐标分别为F1（-2，0），F2（2，0），确定几何量之间的关系，从而可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设P（x，y），可得直线方程，令x=0，从而可求M，N的坐标，根据P点在椭圆上，即可求得的值．
【解析】
（Ⅰ） 设椭圆C的标准方程为．
∵，c=2，a2=b2+c2
∴a2=9，b2=5…（4分）
所以椭圆C的标准方程为．…（5分）
（Ⅱ）设P（x，y），直线，…（7分）
令x=0，得：，…（9分）
∵P点在椭圆上，∴
所以：，…（12分）