Question

（理）设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=2012，且对任意x∈R，满足 f（x+2）-f（x）≤3•2^x，f（x+6）-f（x）≥63•2^x，则f（2012）=    ．

Answer

先由题目中的两个不等式推导出f（x+6）-f（x）的值，然后再用累加法和等比数列求和公式即可求解．
【解析】
∵f（x+2）-f（x）≤3•2x，∴f（x+4）-f（x+2）≤3•2x+2=12•2x，f（x+6）-f（x+4）≤3•2x+4=48•2x，
∴以上三式相加可得：f（x+6）-f（x）≤63•2x．
又∵f（x+6）-f（x）≥63•2x，∴f（x+6）-f（x）=63•2x．
∴f（6）-f（0）=63•2，
f（12）-f（6）=63•26，
f（18）-f（12）=63•212，
…
f（2012）-f（2006）=63•22006，
∴上式相加得：f（2012）-f（0）=63•2+63•26+63•212+…+63•22006=63（2+26+212+…+22006）=22012-1，
∴f（2012）=22012+2011．