Question

已知函数（k＞0）（e为自然对数的底数）
（1）求f（x）的极值
（2）对于数列{a_n}，（n∈N^*）
①证明：a_n＜a_n+12
②考察关于正整数n的方程a_n=n是否有解，并说明理由．

Answer

（1）由f′（x）=0可求得x=0或x=±，从而可求得其单调区间，继而可求得f（x）的极值；
（2）①观察得知，当k=1时，f（x）=，an=，利用f（x）在（1，+∞）上递增，即可证得an＜an+1；
（3）由an=n，得=n2+n，分析等号两端即可得到答案．
【解析】
（1）由f′（x）=2kx（-e）=0得，x=0或x=±，
∴f（x）在 （-∞，-）单调递减，（-，0）单调递增，（0，）单调递减，（，+∞）单调递增，
∴f（x）极大=f（0）=1，f（x）极小值==0，
（2）①当k=1时，f（x）==，
由（1）知f（x）在（1，+∞）上递增，从而an＜an+1
②由an=n，得=n2+n，
因n∈N+，得 n2-1是整数，所以是无理数，
而n2+n为整数，所以≠n2+n
即方程an=n无解