Question

将所有平面向量组成的集合记作R²，f是从R²到R²的映射，记作或（y₁，y₂）=f（x₁，x₂），其中x₁，x₂，y₁，y₂都是实数．定义映射f的模为：在||=1的条件下||的最大值，记做||f||．若存在非零向量R²，及实数λ使得f（）=，则称λ为f的一个特征值．
（1）若f（x₁，x₂）=（x₁，x₂），求||f||；
（2）如果f（x₁，x₂）=（x₁+x₂，x₁-x₂），计算f的特征值，并求相应的；
（3）若f（x₁，x₂）=（a₁x₁+a₂x₂，b₁x₁+b₂x₂），要使f有唯一的特征值，实数a₁，a₂，b₁，b₂应满足什么条件？试找出一个映射f，满足以下两个条件：①有唯一的特征值λ，②||f||=|λ|，并验证f满足这两个条件．

Answer

（1）由新定义可得=，利用=1，可得≤1，从而可得结论；
（2）由特征值的定义可得：，由此可得f的特征值，及相应的；
（3）解方程组，可得x1（a1-λ，b1）+x2（a2，-b1-λ）=0，从而可得a1，a2，b1，b2应满足的条件，当f（）=λ时，f有唯一的特征值，且||f||=|λ|，再进行证明即可．
【解析】
（1）由于此时=，
又因为是在=1的条件下，有==≤1（x2=±1时取最大值），
所以此时有||f||=1；…（4分）
（2）由f（x1，x2）=（x1+x2，x1-x2）=λ（x1，x2），可得：，
解此方程组可得：（λ-1）（λ+1）=1，从而λ=±．
当λ=时，解方程组，此时这两个方程是同一个方程，
所以此时方程有无穷多个解，为（写出一个即可），其中m∈R且m≠0．
当λ=-时，同理可得，相应的（写出一个即可），其中m∈R且m≠0．…（9分）
（3）解方程组，可得x1（a1-λ，b1）+x2（a2，-b1-λ）=0
从而向量（a1-λ，b1）与（a2，-b1-λ）平行，
从而有a1，a2，b1，b2应满足：．
当f（）=λ时，f有唯一的特征值，且||f||=|λ|．具体证明为：
由f的定义可知：f（x1，x2）=λ（x1，x2），所以λ为特征值．
此时a1=λ，a2=0，b1=0，b2=λ满足：，所以有唯一的特征值．
在=1的条件下=λ2，从而有||f||=|λ|．…（14分）