Question

已知函数
（1）曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），且曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1，求a，b的值．
（2）已知f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，求证：0＜a+b＜2．

Answer

（1）根据曲线y=f（x）经过P（1，2），所以该点坐标适合曲线方程，又曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1，所以f′（1）=2，联立两方程可求得a，b的值；
（2）要使f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，则有f′（x）=0在在（1，2）上有两个不等实数根，根据三个二次的关系列式，通过整理变形可以得到要整的结论．
【解析】
（1）由，得：f′（x）=x2+2ax+b
因为y=f（x）经过点P（1，2），所以有，即3a+3b-5=0 ②
又曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1，所以f′（1）=2a+b+1=2，即2a+b-1=0   ①
联立①②得：；
（2）因为函数f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，所以导函数对应的二次方程x2+2ax+b=0在（1，2）
上有两个不等实数根，则
把相加得a+b＞0，
由△＞0得b＜a2，
则，则结论得证．