Question

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e²]上有公共点，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由函数求导，令f'（x）=0，求出根，分析其两侧导数的符号，确定函数的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2]上有公共点，转化为求函数f（x）在区间（0，e2]上的值域，根据（Ⅰ）分类讨论函数在区间（0，e2]是的单调性，确定函数f（x）的最值．
【解析】
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=
令f'（x）=0得x=e1-a
当x∈（0，e1-a）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数
当x∈（e1-a，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数
∴f（x）在x=e1-a处取得极大值，f（x）极大值=f（e1-a）=ea-1
（Ⅱ）（i）当e1-a＜e2时，a＞-1时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，e1-a）上是增函数，在（e1-a，e2]上是减函数
∴f（x）max=f（e1-a）=ea-1
又当x=e-a时，f（x）=0，当x∈（0，e-a]时f（x）＜0．
当x∈（e-a，e2]时，f（x）∈（0，ea-1]，所以f（x）与图象g（x）=1的图象在（0，e2]上有公共点，等价于ea-1≥1
解得a≥1，又a＞-1，所以a≥1
（ii）当e1-a≥e2即a≤-1时，f（x）在（0，e2]上是增函数，
∴f（x）在（0，e2]上的最大值为f（e2）=
所以原问题等价于，解得a≥e2-2．
又∵a≤-1，∴无解
综上实数a的取值范围是a≥1