Question

三棱锥P-ABC中，PA=AC=BC=2，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，D、E分别是PC、PB的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2 ）求证：AD⊥平面PBC；
（3）求四棱锥A-BCDE的体积．

Answer

（1）根据三角形中位线定理可得DE∥BC，进而由线面平行的判定定理可得DE∥平面ABC；
（2）根据等腰三角形三线合一可得AD⊥PC，结合PA⊥平面ABC，BC⊥AC，可证得BC⊥平面PAC，进而可得AD⊥BC，由线面垂直的判定定理可得AD⊥平面PBC；
（3）由已知可判断四棱锥A-BCDE的底面为直角梯形，高为AD，求出底面积和高后代入体积公式可得答案．
证明：（1）∵D、E分别是PC、PB的中点
∴DE∥BC
又∵DE⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴DE∥平面ABC
（2）∵PA=AC，D为PC的中点
∴AD⊥PC
PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC
又∵BC⊥AC，PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC
∵AD⊂平面PAC
∴AD⊥BC
又∴BC∩PC=C
∴AD⊥平面PBC；
【解析】
（3）∵在PA=AC=BC=2，
∴等腰直角三角形PAC中，AD=CD=
直角梯形BCDE中，DE=BC=1，CD=
∴直角梯形BCDE的面积S=
∴四棱锥A-BCDE的体积V=S•AD=1