Question

已知数列{a_n} 满足a_n+1=，且a₁=2．
（1）求证：数列{}是等差数列，并求通项a_n；
（2）b_n=，且c_n=b_n•（n∈N^*），求和T_n=c₁+c₂+…+c_n．

Answer

（1）由数列{an}满足an+1=，且a1=2，知=，故=．由此能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由an=，知bn==n+1，所以cn==（n+1）•（）n，由此利用错位相减法能求出Tn=c1+c2+…+cn．
【解析】
（1）∵数列{an}满足an+1=，且a1=2，
∴=，
∴数列{}是一个首项为=，公差为的等差数列，
∴==．
∴数列{an}的通项公式为an=．（6分）
（Ⅱ）∵an=，∴bn===n+1，（7分）
所以cn==（n+1）•（）n，（8分）
+3×（）2+4×（）3+…+（n+1）×（）n，①
Tn=2×（）2+3×（）3+4×（）4+…+（n+1）•（）n+1，②（10分）
①-②得=1+（）2+（）3+…+（）n-（n+1）•（）n+1
=1+-（n+1）•（）n+1
=-．（13分）
所以Tn=3-．（14分）