Question

设所有可表示为两整数的平方差的整数组成集合M．给出下列命题：
①所有奇数都属于M．
②若偶数2k属于M，则k∈M．
③若a∈M，b∈M，则ab∈M．
④把所有不属于M的正整数从小到大依次排成一个数列，则它的前n项和S_n∈M． 
其中正确命题的序号是    ．（写出所有正确命题的序号）

Answer

根据已知中集合M的定义，根据集合元素与集合关系的判断，我们分别推证①③正确，举反例推翻②④可得答案．
【解析】
∵所有可表示为两整数的平方差的整数组成集合M．
设奇数2k+1 （k∈Z）则：2k+1=（k+1）2-k2，故①所有奇数都属于M正确；
由12=42-22得，12∈M，但6∉M，故②若偶数2k属于M，则k∈M错误；
∵a∈M，b∈M，设a=m2-n2，b=p2-q2，则ab=（m2-n2）（p2-q2 ）=（mp）2+（nq）2-（mq）2-（pn）2=（mp+nq）2-（mq+np）2∈M，故③正确；
当n=1时，Sn即为第一个不属于M的正整数，此时Sn∉M，故④错误；
故答案为：①③