Question

已知f（x）=3+log₂x，x∈[1，4]，则g（x）=f（x²）-[f（x）]²有（ ）
A．最大值-2，最小值-18
B．最大值-6，最小值-18
C．最大值-6，最小值-11
D．最大值-2，最小值-11

Answer

根据复合函数对应法则，得g（x）=（log2x）2-4log2x-6．再换元：令log2x=t，得g（x）=-t2-4t-6，其中0≤t≤1．最后结合二次函数在区间上求最值的方法，可得到本题的答案．
【解析】
g（x）=f（x2）-[f（x）]2=3+log2x2-（3+log2x）2=（log2x）2-4log2x-6
令log2x=t，结合x∈[1，4]且x2∈[1，4]，得1≤x≤2
g（x）=F（t）=-t2-4t-6，其中0≤t≤1
∵F（t）=-t2-4t-6=-（t-2）2-10，在[0，1]上是减函数
∴t=0时，F（t）的最大值为-6；t=1时，F（t）的最小值为-11
即g（x）的最大值为-6，最小值为-11
故选：C