Question

已知函数，在x=1处取得极值为2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（m，2m+1）上为增函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若P（x，y）为图象上的任意一点，直线l与的图象相切于点P，求直线l的斜率的取值范围．

Answer

（I）由题意对函数求导，然后利用极值的概念列出关于a，b的方程，求解即可；
（II）由题意应该先求具体函数的单调增区间，然后利用已知的条件及集合的思想，建立的m取值范围的不等式組求解即可；
（III）找出直线l的斜率k=f′（x），再利用换元法求出k的最小值和最大值，即可得到直线l的斜率的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）已知函数，
∴
又函数f（x）在x=1处取得极值2，
∴
即
∴…（4分）
（Ⅱ）∵由f'（x）＞0，得4-4x2＞0，
即-1＜x＜1所以的单调增区间为（-1，1）
因函数f（x）在（m，2m+1）上单调递增，则有，
解得-1＜m≤0即m∈（-1，0]时，函数f（x）在（m，2m+1）上为增函数…（8分）
（Ⅲ）∵
直线l的斜率，即k=，令，
则k=4（2t2-t），t∈（0，1]
∴，
即直线l的斜率k的取值范围是…（14分）．