Question

已知二次函数f（x）=x²+bx+c满足：f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[0，2]上的最大值与最小值．

Answer

（1）根据f（0）=1，用待定系数法求得b=-1，即得函数的解析式．
（2）由，可得f（x）在上是减函数，在上是增函数，由此求得
函数f（x）在[0，2]上的最值．
【解析】
（1）∵f（0）=1，∴c=1，…（1分）
∴f（x）=x2+bx+1．
∴f（x+1）-f（x）=（x+1）2+b（x+1）+1-x2-bx-1=2x+b+1=2x…（4分）
∴b=-1，
∴f（x）=x2-x+1．…（6分）
（2），…（8分）
∵x∈[0，2]，f（2）=3，
∴f（x）在上是减函数，在上是增函数．
又＞f（0）=1，…（10分）
∴．   …（12分）