Question

如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是矩形，M、N分别是CD、SC的中点，SA⊥底面ABCD，SA=AD=1，AB=．
（I）求证：MN⊥平面ABN；
（II）求二面角A-BN-C的余弦值．

Answer

（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出向量，计算
即可证明MN⊥平面ABN；
（II）求平面NBC的法向量，平面ABN的法向量，利用向量的数量积求得二面角A-BN-C的余弦值．
（I）证明：以A点为原点，AB为x轴，AD为y轴，AZ为z轴的空间直角坐标系，
如图所示．则依题意可知相关各点的坐标分别是：A（0，0，0），B（，0，0），
C（，1，0），D（0，1，0），S（0，0，1），
∴（2分）
∴（4分）

∴
∴MN⊥平面ABN．（7分）
（II）【解析】
设平面NBC的法向量
且又易知
∴
令a=1，则（11分）
显然，就是平面ABN的法向量．
∴
由图形知，二面角A-BN-C是钝角二面角（12分）
∴二面角A-BN-C的余弦值是-．（14分）