Question

已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的最大值；
（2）已知y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范围；
（3）求证：．

Answer

（1）由f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R），a=1，知，由此能求出f（x）在定义域上的最大值．
（2）y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，等价于恒成立，由此能够求出a的取值范围．
（3）要证，只需证，由此能够得到证明．
【解析】
（1）∵f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R），a=1，
∴，
由＞0，得-1＜x＜0；由＜0，得x＞0；
所以y=f（x）在（-1，0）为增，在（0，+∞）为减，
所以x=0时，f（x）取最大值0．
（2）y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，
等价于恒成立，
设，
设，
所以h（x）是减函数，所以，
所以g（x）是减函数，gmax（x）=g（1），所以a＞ln2
（3）要证，
只需证
只需证
因为，
所以．
故．