Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）．
（1）若方程f（x）=0的两根一个大于-3，另一个小于-3，求a的取值范围；
（2）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式．

Answer

（1）依据不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3），可设函数f（x）-2x的解析式为（x）+2x=a（x-1）（x-3），利用方程f（x）=0的两根一个大于-3，另一个小于-3，可建立不等式，即可求a的取值范围；
（2）利用f（x）+6a=0有两个相等的实数根，通过△=0求出a的值，最后代入f（x）即可得出答案．
【解析】
（1）∵f（x）＞-2x的解集为（1，3），
∴可设f（x）+2x=a（x-1）（x-3），且a＜0，
因而f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax2-（4a+2）x+3a
∵方程f（x）=0的两根一个大于-3，另一个小于-3，
∴，∴-＜a＜0；
（2）∵方程f（x）+6a=0有两个相等实根
∴ax2-（4a+2）x+9a=0有两个相等实根．
∴[-（4a+2）]2-36a2=0，
∴5a2-4a-1=0
∴a=1或a=-
∵a＜0，∴a=-，
∴f（x）=-x2-x-．