Question

已知：如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AB=2，E为PD中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（Ⅲ）求二面角E-AC-D的正弦值．

Answer

（Ⅰ）连接BD交AC于点O，连接EO，由O为BD中点，E为PD中点，知EO∥PB．由此能够证明PB∥平面AEC．
（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，知PA⊥CD．由正方形ABCD中，CD⊥AD，知CD⊥平面PAD，由此能够证明平面PCD⊥平面PAD．
（Ⅲ）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-AC-D的正弦值．
（Ⅰ）证明：连接BD交AC于点O，连接EO．…（1分）
∵O为BD中点，E为PD中点，
∴EO∥PB．…（2分）
∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，…（3分）
∴PB∥平面AEC．
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD．
∴CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD．…（4分）
又∵在正方形ABCD中，CD⊥AD，且PA∩AD=A，…（5分）
∴CD⊥平面PAD．…（6分）
又∵CD⊂平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD．…（7分）
（Ⅲ）【解析】
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．…（8分）
∵PA=AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）．…（9分）
∵PA⊥平面ABCD，∴=（0，0，2）是平面ABCD的法向量，
设平面AEC的法向量为，，，
则，即，解得．…（11分）
∴cos＜＞==，…（12分）
∴二面角E-AC-D的正弦值为．…（13分）