Question

已知数列{a_n}是等差数列，且a₂=7，a₅=16，数列{b_n}是各项为正数的数列，且b₁=2，点（log₂b_n，log₂b_n+1）在直线y=x+1上．
（1）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项的和S_n．

Answer

（1）由题设知，所以an=3n+1，再由点（log2bn，log2bn+1）在直线y=x+1上，知log2bn+1=log2bn+1，所以，由此能导出bn．
（2）由cn=anbn得cn=（3n+1）2n，Sn=4×2+7×22+…+（3n+1）2n，然后由错位相减法能求出Sn=4+（3n-2）2n+1．
【解析】
（1）∵数列{an}是等差数列，且a2=7，a5=16，
∴，∴a1=4，d=3，∴an=3n+1（3分）
又点（log2bn，log2bn+1）在直线y=x+1上，∴log2bn+1=log2bn+1，
∴log2bn+1-log2bn=1，，bn+1=2bn，又b1=2，∴bn=2n（6分）
（2）由cn=anbn得cn=（3n+1）2n（7分）
∴Sn=4×2+7×22++（3n+1）2n①
2Sn=4×22+7×23++（3n+1）2n+1②
①-②得-Sn=4×2+3×22++3×2n-（3n+1）2n+1（11分）
∴-Sn=8+3×22（2n-1-1）-（3n+1）2n+1=-4-（3n-2）2n+1
∴Sn=4+（3n-2）2n+1（13分）