Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x-y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

Answer

（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；
法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，
（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x-y+a=0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．
【解析】
（Ⅰ）法一：曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（3-2，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t-1）2=（2）2+t2，解得t=1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x-3）2+（y-1）2=9．
法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0
x=0，y=1有1+E+F=0
y=0，x2 -6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，故有有D=-6，F=1，E=-2
即圆方程为x2+y2-6x-2y+1=0
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组
，消去y，得到方程2x2+（2a-8）x+a2-2a+1=0，由已知可得判别式△=56-16a-4a2＞0．
在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2=4-a，x1x2=①，
由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②
由①②可得a=-1，满足△=56-16a-4a2＞0．故a=-1．