Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．
（I）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（II）若二面角P-A C-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；
（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，-1，0），面EAC的法向量=（a，-a，-2），利用二面角P-A C-E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，-2，-2），=（1，1，-2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=2，∴AC=BC=，
∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（4分）
（Ⅱ）如图，以C为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，-1，0）．
设P（0，0，a）（a＞0），则E（，-，），…（6分）
=（1，1，0），=（0，0，a），=（，-，），
取=（1，-1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．
设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，
即取x=a，y=-a，z=-2，则=（a，-a，-2），
依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…（10分）
于是=（2，-2，-2），=（1，1，-2）．
设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…（12分）