Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S，数列{b_n}满足，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n和T_n；
（II）若对任意的n∈N^*不等式恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer

（I）当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，an==2n-1，由此推导出an=2n-1，从而得到bn==（），由此能求出数列{an}的通项公式an和Tn．
（II）由（I）得：λ＜，由此进行分类讨论，能推导出对于任意的正整数n，原不等式恒成立，λ的取值范围．
【解析】
（I）当n=1时，a1=S1=1，
当n≥2时，an==2n-1，验证当n=1时，也成立；
所以，an=2n-1，
bn===（）

所以，Tn==．
（II）由（I）得：λ＜，
当n为奇数时，λ＜=2n-恒成立，
因为当n为奇数时，2n-单调递增，
所以当n=1时，2n--1取得最小值为0，
此时，λ＜0．
当n为偶数时，=2n++3恒成立，
因为当n为偶数时，2n++3单调递增，所以当n=2时，2n++3取得最小值为，
此时，λ＜．
综上所述，对于任意的正整数n，原不等式恒成立，λ的取值范围是（-∞，0）．