Question

定义在R上的可导函数y=f（x）满足f（x+5）=f（-x），（2x-5）f′（x）＞0．已知x₁＜x₂，则“f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＜5”的    条件．

Answer

求出函数y=f（x）图象的对称轴，然后根据（2x-5）f'（x）＞0，判定函数在对称轴两侧的单调性，最后根据函数的单调性对充分性和必要性分别加以验证，即可得到本题答案．
【解析】
∵f（5+x）=f（-x），∴函数y=f（x）的图象关于x=对称
∵（2x-5）f'（x）＞0，
∴x＞时，f'（x）＞0，可得函数f（x）单调递增；当x＜时，f'（x）＜0，可得函数f（x）单调递减
①当f（x1）＞f（x2）时，结合x1＜x2，由函数单调性可得≤x2＜5-x1或x1＜x2＜
∴x1+x2＜5成立，故充分性成立；
②当x1+x2＜5时，因为x1＜x2，必有x1＜5-x2≤成立，
所以结合函数的单调性，可得f（x1）＞f（x2）成立，故必要性成立
综上所述，“f（x1）＞f（x2）”是“x1+x2＜5”的充分必要条件．
故答案为：充分必要