Question

如图，M，N，K分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB，CD，C₁D₁的中点．
（1）求证：AN∥平面A₁MK；
（2）求证：平面A₁B₁C⊥平面A₁MK．

Answer

对于（1），要证明AN∥平面A1MK，只需证明AN平行于平面A1MK内的一条直线，容易证明AN∥A1K，从而得到证明；
对于（2），要证明平面A1B1C⊥平面A1MK，只需证明平面A1MK内的直线MK垂直于平面A1B1C即可，而BC1∥MK容易证明，
从而问题得以解决．
证明：（1）连接KN，由于K、N为CD，C1D1、CD的中点，所以KN平行且等于AA1，
AA1KN为平行四边形⇒AN∥A1K，而A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，从而AN∥平面A1MK．
（2）连接BC1，由于K、M为AB、C1D1的中点，所以KC1与MB平行且相等，
从而KC1MB为平行四边形，所以MK∥BC1，而BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，从而
BC1⊥平面A1B1C，所以：
⇒MK⊥面A1B1C⇒面A1B1C⊥面A1MK．