Question

已知函数．
（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；
（2）当时，求函数在上的最值；
（3）函数f（x）在[1，2]上恒有f（x）≥3成立，求a的取值范围．

Answer

（1）要证明函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，利用定义证明任意x1＜x2且x1，x2∈（0，+∞），有f（x2）＞f（x1）
（2）结合（1）考查函数的单调性．利用单调性判断函数的值域
（3）由，可得在[1，2]上恒成立，构造函数，通过研究函数g（x）在[1，2]上单调性，从而求函数的最大值，而a≥g（x）max，从而可求a
【解析】
（1）证明：设x1＜x2且x1，x2∈（0，+∞），则x2-x1＞0，x1x2＞0．（1分）
∵f（x2）-f（x1）═，
∴f（x2）＞f（x1）．（3分）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．（4分）
（2）当时，；
由（1）知函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．（5分）
∴（7分）
∴f（x）的最小值为，此时；无最大值．（8分）
（3）依题意，，即在[1，2]上恒成立．
∵函数在[1，2]上单调递减，∴g（x）max=4（11分）
∴，又a＞0．∴，a的取值范围是．（14分）