Question

设异面直线a与b所成的角为50°，O为空间一定点，试讨论，过点O与a、b所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直线l有且仅有几条？

Answer

为了讨论：过点O与a、b所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直线l有且仅有几条，先将涉及到的线放置在同一个平面内观察，如图产，只须考虑过点O与直线a1、b1所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直线l有且仅有几条即可，再利用cosθ=cosθ1•cosθ2．进行角之间的大小比较即得．
【解析】
过点O作a1∥a，b1∥b，则相交直线a1、b1确定一平面α．a1与b1夹角为50°或130°，设直线OA与a1、b1均为θ角，作AB⊥面α于点B，BC⊥a1于点C，BD⊥b1于点D，记∠AOB=θ1，∠BOC=θ2（θ2=25°或65°），则有cosθ=cosθ1•cosθ2．因为0°≤θ1≤90°，所以0≤cosθ≤cosθ2．
当θ2=25°时，由0≤cosθ≤cos25°，得25°≤θ≤90°；
当θ2=65°时，由0≤cosθ≤cos65°，得65°≤θ≤90°．
故当θ＜25°时，直线l不存在；当θ=25°时，直线l有且仅有1条；
当25°＜θ＜65°时，直线l有且仅有2条；
当θ=65°时，直线l有且仅有3条；
当65°＜θ＜90°时，直线l有且仅有4条；
当θ=90°时，直线l有且仅有1条．