Question

如图，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=．
（1）求证：AC⊥BF；
（2）求二面角F-BD-A的余弦值；
（3）求点A到平面FBD的距离．

Answer

（1）在△ACD中，由题设条件推导出CD⊥CA，由ABCD是平行四边形，知CA⊥AB，由直线垂直于平面的性质得到AC⊥BF．
（2）以CD为x轴，CA为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，由题设条件分别求出平面ABD和平面FBD的法向量，用向量法能够求出二面角F-BD-A的余弦值．
（3）求出向量和平面FBD的法向量，用向量法能够求出点A到平面FBD的距离．
（本小题满分12分）
【解析】
（1）在△ACD中，AC2=AD2+CD2-2AD•CD•cos60°=4+1-2×=3，
∴AC2+CD2=AD2，∴CD⊥CA，
∵ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴CA⊥AB，
∵矩形ACEF中，CA⊥AF，
∴CA⊥平面ABF，
∵BF⊂平面ABF，
∴AC⊥BF．
（2）∵平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
∴CE⊥平面ABCD，
以CD为x轴，CA为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，
得C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，，0），F（0，，），B（-1，，0），
∴，，
平面ABD的法向量，设平面FBD的法向量，
则，，
∴，解得，
设二面角F-BD-A的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜＞|=||=．
故二面角F-BD-A的余弦值为．
（3）设点A到平面FBD的距离为d，
∵，平面FBD的法向量，
∴==．