Question

已知直线l：y=kx+1与抛物线y=x²交于A、B两点，O是坐标原点．
（1）求证：OA⊥OB．
（2）若三角形AOB的面积为2，求直线l的方程．
（3）是否存在实数k，使A、B两点关于直线对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）直线l：y=kx+1与抛物线y=x2联立，求出OA，OB的向量，利用韦达定理可得结论；
（2）设出A，B的坐标，表示出面积，将p+q=k pq=-1代入，即可得到结论；
（3）假设存在，利用对称性，可得结论．
（1）证明：直线l：y=kx+1与抛物线y=x2联立，可得x2-kx-1=0
设A点坐标为（p，p2），B点坐标为（q，q2），则直线OA的斜率为=p，直线OB的斜率为=q
因为p，q是方程x2-kx-1=0得两个解，根据韦达定理得p+q=k，pq=-1
所以OA⊥OB
（2）【解析】
因为A，B在y=kx+1上，
所以A点坐标又可表示为（p，kp+1），B可表示为（q，kq+1），
∵|OA|2=p2+p4，|OB|2=q2+q4，
∴S△AOB2=|OA|2•|OB|2=（p2+p4）（q2+q4）
∴p2q2+p2q2q2+p2p2q2+p4q4=16
将pq=-1代入得（-1）2+（-1）2q2+p2（-1）2+（-1）4=16
∴p2+q2=14
∴p2+q2+2pq=14+2pq
∴（p+q）2=12
∴k2=12，∴k=±2；
（3）【解析】
若存在，则，∴q+p=-2，即k=-2．
∵AB的中点为（）
∴
∵q+p=-2，∴上式显然不成立
故不存在实数k，使A、B两点关于直线对称．