Question

平面图形ABB₂A₂C₃C如图4所示，其中BB₁C₁C是矩形，BC=2，BB₁=4，AB=AC=，A₁B₁=A₁C₁=．现将该平面图形分别沿BC和B₁C₁折叠，使△ABC与△A₁B₁C₁所在平面都与平面BB₁C₁C垂直，再分别连接A₂A，A₂B，A₂C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题．
（Ⅰ）证明：AA₁⊥BC；
（Ⅱ）求AA₁的长；
（Ⅲ）求二面角A-BC-A₁的余弦值．

Answer

（Ⅰ）证明AA1⊥BC，只需证明BC⊥平面OO1A1A，取BC，B1C1的中点为点O，O1，连接AO，OO1，A1O，A1O1，即可证得；
（Ⅱ）延长A1O1到D，使O1D=OA，则可得AD∥OO1，AD=OO1，可证OO1⊥面A1B1C1，从而AD⊥面A1B1C1，即可求AA1的长；
（Ⅲ）证明∠AOA1是二面角A-BC-A1的平面角，在直角△OAA1中，利用余弦定理，可求二面角A-BC-A1的余弦值．
（Ⅰ）证明：取BC，B1C1的中点为点O，O1，连接AO，OO1，A1O，A1O1，
∵AB=AC，∴AO⊥BC
∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC
∴AO⊥平面BB1C1C
同理A1O1⊥平面BB1C1C，∴AO∥A1O1，∴A、O、A1、O1共面
∵OO1⊥BC，AO⊥BC，OO1∩AO=O，∴BC⊥平面OO1A1A
∵AA1⊂平面OO1A1A，∴AA1⊥BC；
（Ⅱ）【解析】
延长A1O1到D，使O1D=OA，则∵O1D∥OA，∴AD∥OO1，AD=OO1，
∵OO1⊥BC，平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，平面A1B1C1∩平面BB1C1C=B1C1，
∴OO1⊥面A1B1C1，
∵AD∥OO1，
∴AD⊥面A1B1C1，
∵AD=BB1=4，A1D=A1O1+O1D=2+1=3
∴AA1==5；
（Ⅲ）【解析】
∵AO⊥BC，A1O⊥BC，∴∠AOA1是二面角A-BC-A1的平面角
在直角△OO1A1中，A1O=
在直角△OAA1中，cos∠AOA1=-
∴二面角A-BC-A1的余弦值为-．