Question

已知函数f（x）=lnx-，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R
（1）当a=1时，判断f（x）的单调性；
（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（3）设函数h（x）=x²-mx+4，当a=2时，若∃x₁∈（0，1），∀x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）当a=1时，f（x）=lnx-，f′（x）=+=，由此能推导出f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）将函数为增函数，转化为导函数大于等于0恒成立，分离出参数a，求出a的范围．
（3）对h（x）进行配方，讨论其最值问题，根据题意∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，只要要求g（x）max≥h（x）max，即可，从而求出m的范围．
【解析】
（1）当a=1时，f（x）=lnx-，
∴f′（x）=+=，x＞0．
∵x＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）∵f（x）=lnx-，g（x）=f（x）+ax-6lnx，a＞0．
∴g（x）=ax--5lnx，x＞0
∴g′（x）=a+-=，
若g′（x）＞0，可得ax2-5x+a＞0，在x＞0上成立，
∴a＞=，
∵≤=（x=1时等号成立），
∴a＞．
（3）当a=2时，g（x）=2x--5lnx，
h（x）=x2-mx+4=（x-）2+4-，
∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，
∴要求g（x）的最大值，大于h（x）的最大值即可，
g′（x）==，令g′（x）=0，
解得x1=，x2=2，
当0＜x＜，或x＞2时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
当＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；
∵x1∈（0，1），
∴g（x）在x=处取得极大值，也是最大值，
∴g（x）max=g（）=1-4+5ln2=5ln2-3，
∵h（x）=x2-mx+4=（x-）2+4-，
若m≤3，hmax（x）=h（2）=4-2m+4=8-2m，
∴5ln2-3≥8-2m，∴m≥，
∵＞3，故m不存在；
若m＞3时，hmax（x）=h（1）=5-m，
∴5ln2-3≥5-m，∴m≥8-5ln2，
实数m的取值范围：m≥8-5ln2；