Question

设函数f（x）的定义域为R，对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）；当x＜0时，f（x）＜0，且f（1）=1．
（1）判断并证明f（x）在（-∞，+∞）上的单调性；
（2）若数列{a_n}满足：0＜a₁＜1，且2-a_n+1=f（2-a_n），证明：对任意的n∈N^*，0＜a_n＜1．

Answer

（1）f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，利用单调性的定义进行证明即可；
（2）利用赋值法，可得an+1=f（an），再用数学归纳法，证明即可．
（1）【解析】
f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，证明如下：
设任意x1，x2∈（-∞，+∞），且x1＜x2，则
∵x1-x2＜0，∴f（x1-x2）＜0，∴f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）+f（x2）＜f（x2）
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．…（6分）
（2）证明：在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=1，得f（2）=f（1）+f（1）=2．
令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．
令y=-x，得f（-x）+f（x）=0，即f（-x）=-f（x）
∴2-an+1=f（2-an），∴2-an+1=f（2）+f（-an）
∴2-an+1=2-f（an），∴an+1=f（an）
下面用数学归纳法证明：…（9分）
①当n=1时，0＜a1＜1，不等式成立；
②假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即0＜ak＜1，
则∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
∴f（0）＜ak+1=f（ak）＜f（1），∴0＜ak+1＜1，
即当n=k+1时不等式也成立．
综上①②，由数学归纳法原理可知对任意的n∈N*，0＜an＜1…（14分）