Question

已知函数R）．
（Ⅰ）若a=3，试确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在其图象上任意一点（x，f（x））处切线的斜率都小于2a²，求实数a的取值范围．

Answer

（1）将a=3代入后对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．
（2）根据导数的几何意义可将题转化为求使得f'（x）=-x2+2x+a＜2a2对任意x∈R恒成立的a的取值范围，进而根据二次函数的性质可解题．
（Ⅰ）【解析】
当a=3时，，所以f/（x）=-x2+2x+3，
由f'（x）＞0，解得-1＜x＜3，由f'（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，
所以函数f（x）的单调增区间为（-1，3），减区间为（-∞，-1）和（3，+∞）．
（Ⅱ）【解析】
因为f'（x）=-x2+2x+a，
由题意得：f'（x）=-x2+2x+a＜2a2对任意x∈R恒成立，
即-x2+2x＜2a2-a对任意x∈R恒成立，
设g（x）=-x2+2x，所以g（x）=-x2+2x=-（x-1）2+1，
所以当x=1时，g（x）有最大值为1，
因为对任意x∈R，-x2+2x＜2a2-a恒成立，
所以2a2-a＞1，解得a＞1或，
所以，实数a的取值范围为{a|a＞1或．