Question

已知数列{a_n}中，a₁=5且（n≥2且n∈N^*）．
（1）若数列为等差数列，求实数λ的值；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）方法1：利用特殊到一般的方法，先探求实数λ的值，再验证一般性的结论成立；
方法2：设，由{bn}为等差数列，则有2bn+1=bn+bn+2（n∈N*），由此可求实数λ的值；
（2）利用错位相减法，即可求数列{an}的前n项和Sn．
【解析】
（1）方法1：∵a1=5，
∴，．
设，由{bn}为等差数列，则有2b2=b1+b3．
∴．
∴．
解得 λ=-1．
事实上，===1，
综上可知，当λ=-1时，数列为首项是2、公差是1的等差数列．
方法2：∵数列为等差数列，
设，由{bn}为等差数列，则有2bn+1=bn+bn+2（n∈N*）．
∴．
∴λ=4an+1-4an-an+2=2（an+1-2an）-（an+2-2an+1）=2（2n+1-1）-（2n+2-1）=-1．
综上可知，当λ=-1时，数列为首项是2、公差是1的等差数列．
（2）由（1）知，，
∴．
∴．
即．
令，①
则．         ②
②-①，得=n•2n+1．
∴．