Question

若不等式x²+2xy≤a（2x²+y²）对于一切正数x、y恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．1

Answer

不等式整理为（2a-1）（）2-2•+a≥0对于一切正数x，y恒成立，换元，再分离参数，求出函数的最值，即可求得结论．
【解析】
由题意可得：不等式x2+2xy≤a（2x2+y2）对于一切正数x，y恒成立，
即不等式（2a-1）x2-2xy+ay2≥0对于一切正数x，y恒成立，
即不等式（2a-1）（）2-2•+a≥0对于一切正数x，y恒成立，
令t=，则有t＞0，所以（2a-1）t2-2t+a≥0对于一切t∈（0，+∞）恒成立，
∴对于一切t∈（0，+∞）恒成立，
令f（t）=，则f′（t）=
∴t∈（0，1）时，f′（t）＞0，函数单调递增，t∈（1，+∞）时，f′（t）＜0，函数单调递减
∴t=1时，函数取得最大值1
∴a≥1
∴实数a的最小值为1
故选D