Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂）．求证：方程有两个不相等的实数根，且必有一个属于（x₁，x₂）．

Answer

令g（x）=f（x）-[f（x1）+f（x2）]，可证得g（x）=0的判别式△＞0，再根据零点存在定理进行判断，证g（x1）•g（x2）＜0及g（x）图象连续，从而可知g（x）在区间（x1，x2） 内必有零点，由此即可得到结论．
证明：令g（x）=f（x）-[f（x1）+f（x2）]=ax2+bx+c-[f（x1）+f（x2），
因为△==b2-4ac+2a[f（x1）+f（x2）]=b2-4ac+2a[+]=，
又x1＜x2，所以△＞0，
所以g（x）=0有两个不等实根，即方程有两个不相等的实数根；
而g（x1）=f（x1）-[f（x1）+f（x2）]=-，g（x2）=f（x2）-[f（x1）+f（x2）]=，
∴g（x1）•g（x2）=-[f（x2）-f（x1）]2＜0．
再由g（x）的图象是连续的，可得g（x）在区间（x1，x2） 内必有零点，即 f（x）-=0在区间（x1，x2） 内必有实数根．
综上可得，方程有两个不相等的实数根，且必有一个属于（x1，x2）．