Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+n+1，n∈N^*．
（1）若{a_n}是等差数列，求其首项a₁和公差d；
（2）证明：{a_n}不可能是等比数列；
（3）若a₁=-1，试比较a_n与（n-2）（n+1）的大小，并证明你的结论．

Answer

（1）由数列{an}满足an+1=2an+n+1，n∈N*，推导出a1=-3，a2=-4，由此能求出d=-1．
（2）假设{an}是等比数列，则=a1a3，由此推导出a2a4≠a32，与等比数列的性质相矛盾，从而得到{an}不可能是等比数列．
（3）由{an}是等差数列，首项a1=-1，公差d=-1，得到an=-n．由此利用作差相减法能比较an和（n-2）（n+1）的大小．
【解析】
（1）证明：∵数列{an}满足an+1=2an+n+1，n∈N*，
∴a2=2a1+2，
a3=2a2+3=4a1+7，
∴2a2=a1+a3，
∴a1=-3，a2=-4，
∴d=-1．
（2）证明：假设{an}是等比数列，则=a1a3，
∴（2a1+3）2=a1（4a1+7），
∴a1=-4，a2=-6，a3=-9，
又∵a4=2a3+4=-14，
∴a2a4≠a32，与等比数列的性质相矛盾，
∴假设错误．
故{an}不可能是等比数列．
（3）∵{an}是等差数列，首项a1=-1，公差d=-1，
∴an=-1+（n-1）×（-1）=-n．
∴an-（n-2）（n+1）=-n-n2+n+2=2-n2，
∴n=1时，an-（n-2）（n+1）=2-n2＞0，an＞（n-2）（n+1）；
n=2时，an-（n-2）（n+1）=2-n2＜0，an＜（n-2）（n+1）．