Question

设a是实数，f（x）=a-
（Ⅰ）证明：对于任意实数a，f（x）在R上为增函数；
（Ⅱ）如果f（x）为奇函数，试确定a的值．
（Ⅲ）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

Answer

（1）定义证明函数的单调性，（2）利用奇函数在0处有定义，则有f（0）=0，（3）根据反比例函数性质和不等式性质求函数的值域．
【解析】
（1）设x1，x2是R内任意两实数，且x1＜x2，
所以=，
因为x1＜x2，所以，
所以，，，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在R上为增函数．
（2）因为f（x）为R上的奇函数，
所以，
所以．
（3）由（2）知，f（x）=，
因为x∈R，所以2x+1＞1，
所以，，
所以f（x）的值域为．