Question

已知定义在R上的函数f（x）=x²（ax-3），其中a为常数．
（Ⅰ）若x=1是函数y=f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在区间（-1，0）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer

（I）由x=1是函数f（x）的一个极值点则知f'（1）=0，代入导函数即可求a的值；
（II）要求函数f（x）在区间（-1，0）上是增函数，则要求导函数f'（x）在区间（-1，0）大于等于零即可，另外要注意对a的讨论．
【解析】
（I）∵f（x）=ax3-3x2
∴f'（x）=3ax2-6x=3x（ax-2）．
∵x=1是f（x）的一个极值点，
∴f'（1）=0，
∴a=2．
（II）①当a=0时
f（x）=-3x2在区间（-1，0）上是增函数
∴a=0符合题意；
②当a≠0时，f'（x）=3ax（x-），令f'（x）=0得：x1=0，x2=
当a＞0时，对任意x∈（-1，0），f'（x）＞0，
∴a＞0 （符合题意）
当a＜0时，当x∈（，0）时f'（x）≥0，
∴≤-1，∴-2≤a＜0（符合题意）
综上所述，a≥-2．