Question

甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
（Ⅰ） 求甲获胜的概率；
（Ⅱ） 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．

Answer

设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（Ak）=，P（Bk）=（k=1，2，3）
（Ⅰ） 记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A1）+P（）+P（），利用互斥事件的概率公式即可求解；
（Ⅱ） 投篮结束时甲的投篮次数ξ的可能值为1，2，3，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列与期望．
【解析】
设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（Ak）=，P（Bk）=（k=1，2，3）
（Ⅰ） 记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A1）+P（）+P（）
=×+=；
（Ⅱ） 投篮结束时甲的投篮次数ξ的可能值为1，2，3
P（ξ=1）=P（A1）+P（）=
P（ξ=2）=P（）+P（）==
P（（ξ=3）=P（）==
ξ的分布列为
 ξ  1  2  3
 P      

期望Eξ=1×+2×+3×=．