Question

若不等式组表示的区域面积为S，则
（1）当S=2时，k=    ；
（2）当k＞1时，的最小值为    ．

Answer

（1）根据题意，可得直线l：y=-kx+4k与x、y的正半轴分别交于点A（4，0），B（0，4k），进而得到不等式表示的平面区域是图中△AOB，结合题意建立关于k的方程并解之，即可得到实数k的值；
（2）结合（1）的计算，可得=，其中k＞1．然后利用配凑的方法，结合基本不等式求最值，得当且仅当k=2时，的最小值为32．
【解析】
（1）∵直线l：y=-kx+4k=-k（x-4）
∴直线l经过点A（4，0），令x=0，得y=4k，直线l交y轴于点B（0，4k）
因此，不等式组表示的区域是图中△AOB，
其面积为S==8k=2，解之得k=；
  （2）由（1），得S=8k，可得
==，其中k＞1
=8（k-1）++16，
∵8（k-1）+≥2=16
∴当且仅当8（k-1）=时，即k=2时，8（k-1）+的最小值为16，
由此可得≥16+16=32，即k＞1时，的最小值为32
故答案为：，32