Question

已知函数f （x）=3sin²ax+sin ax cos ax+2cos²ax的周期为π，其中a＞0．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当上时求f （x）的单调递增区间及值域．

Answer

（Ⅰ）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简整理，进而利用正弦函数的性质求得函数的周期，即可求a的值；
（Ⅱ）整体思维，利用正弦函数的单调性，结合，可得单调增区间；确定2x-∈[-，]，可得函数的值域．
【解析】
（Ⅰ）由题意得f（x）=（1-cos 2ax）+sin 2ax+（1+cos 2ax）=sin 2ax-cos 2ax+
=sin（2ax-）+．
因为f （x）的周期为π，a＞0，所以a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x-）+
令2x-∈[2kπ-，2kπ+]（k∈Z），可得x∈[kπ-，kπ+]（k∈Z），
∵，∴当上时，f （x）的单调递增区间为；
∵，∴2x-∈[-，]
∴sin（2x-）∈[-，1]
∴f（x）的值域为[-，]．